El numero 1 es primo

El numero 1 es primo

¿es el 0 un número primo?

Los números primos han atraído la atención del ser humano desde los primeros tiempos de la civilización. Explicamos qué son, por qué su estudio entusiasma a matemáticos y aficionados por igual, y de paso abrimos una ventana al mundo de los matemáticos.

Desde el principio de la historia de la humanidad, los números primos despertaron la curiosidad humana. ¿Qué son? ¿Por qué son tan difíciles las preguntas relacionadas con ellos? Una de las cosas más interesantes de los números primos es su distribución entre los números naturales. A pequeña escala, la aparición de los números primos parece aleatoria, pero a gran escala parece haber un patrón, que aún no se entiende del todo. En este breve artículo, intentaremos seguir la historia de los números primos desde la antigüedad y aprovechar esta oportunidad para sumergirnos y comprender mejor el mundo de los matemáticos.

¿Se ha preguntado alguna vez por qué el día se divide exactamente en 24 h, y el círculo en 360 grados? El número 24 tiene una interesante propiedad: puede dividirse en partes enteras iguales de un número relativamente grande de maneras. Por ejemplo, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6, y así sucesivamente (¡completa tú mismo el resto de opciones!). Esto significa que un día puede dividirse en dos partes iguales de 12 h cada una, la diurna y la nocturna. En una fábrica que trabaja sin parar en turnos de 8 h, cada día se divide exactamente en tres turnos.

2 es un número primo

Les aseguro que tengo una hermosa y exhaustiva respuesta a esa pregunta, que desgraciadamente esta entrada del blog es demasiado pequeña para contener, así que discutamos en cambio una pregunta casi tan rica e inmortal:  ¿Por qué el 1 no cuenta como número primo?

El estudiante señala la definición común, algo así como: «un número primo es divisible precisamente por dos números: 1 y él mismo». Como el 1 no es divisible por dos números, no es primo.

Esta respuesta equivale a «porque lo digo yo». O quizás más simpático: «Porque lo dice mi profesor y/o mi libro de texto». Es una respuesta que tiene que ver con la deferencia al poder. No se trata de una explicación errónea, sino de un fallo en la explicación. Sí, la definición lo dice, pero ¿por qué lo dice?

Para ser honesto, entiendo de dónde vienen los «1 es primo». Si un primo es «divisible sólo por 1 y por sí mismo», entonces, ¿no cuenta el número 1? ¿Por qué la parte arbitraria de la regla «necesita al menos dos factores»?

Pues bien, he aquí un hecho que aprendí recientemente de Tom Edgar: en el siglo XIX, muchos matemáticos consideraban que el 1 era primo. La insustituible Evelyn Lamb explica los detalles, incluido el jugoso hecho de que nada menos que G.H. Hardy incluyó el 1 entre los primos.

¿es el 5 un número primo?

Pero, como ocurre con cualquier convención, lo que resulta conveniente en un contexto puede resultar inconveniente en otro. Por ejemplo, cuando se estudian las formas cuadráticas y los resultados relacionados, algunos autores encuentran conveniente considerar que ciertas unidades son primos, por ejemplo, $\,-1\,$ se considera primo. Esta idea fue empleada por primera vez por H. Hasse y más recientemente ha sido popularizada y ampliada por John H. Conway.

A continuación se presentan extractos de algunas observaciones de Conway que explican por qué llama primo a $\,-1$. El contexto se explica con mucha más extensión en su bellísimo libro The Sensual (Quadratic) Form, que fue citado en su prestigioso premio Steele 2000 de exposición matemática («Este es un libro rico en ideas. Parecen brotar de casi cada página»)

«Invariante de Hasse-Minkowski». Sin embargo, el artículo definido es inmerecido, ¡porque no hay acuerdo universal sobre lo que significa «la invariante de Hasse-Minkowski»! Hay dos sistemas en uso, y los topólogos confunden aún más la situación al utilizar una versión más antigua, la «unidad de Minkowski».

1 es un número compuesto

Es importante entender que esto no es algo que se pueda demostrar: es una definición. Elegimos no considerar el 1 como un número primo, simplemente porque facilita la escritura de muchos teoremas.

Noah da el mejor ejemplo en su respuesta: El teorema de Euclides de que todo número entero positivo puede escribirse de forma única como un producto de números primos. Si se define que 1 es un número primo, entonces tendríamos que cambiar ese teorema por «todo número entero positivo se puede escribir de forma única como un producto de primos, excepto para las multiplicaciones infinitas por 1». Así que optamos por el camino más fácil de definir que 1 no es un primo.

En realidad, el 1 se consideró un número primo hasta principios del siglo XX. La factorización única fue una fuerza impulsora bajo su cambio de estatus, ya que su formulación es más rápida si 1 no se considera primo; pero creo que la teoría de grupos fue la otra fuerza. De hecho, prefiero describir los números como primos, compuestos y unidades, es decir, números cuya inversa existe (así, si tomamos el conjunto de números enteros Z, tenemos que 1 y -1 son unidades y seguimos teniendo la factorización única hasta las unidades).